数学夏祭り5日目

数学夏祭りの公式 Twitter アカウントに第5問が投稿されたので解いてみた。

これはよくある, ある数列の極限を求めさせて, その数列と極限の差を n 倍したときの極限を問う問題である. 他の検定試験で言えば, lim[n→∞]n(e-(1+1/n)^n) を求めさせるようなものだ (ちなみに, この極限は e/2).

α 自体を求めるのはよくある区分求積法で求められ, α=(1/n⁸⁰)∑[k=1,n]k⁷⁹=(1/n)∑[k=1,n](k/n)⁷⁹→∫[x=0,1]x⁷⁹dx (n→∞) となるから α=1/80 である.

n(α-a_n)=n(1/80-(1/n⁸⁰)∑[k=1,n]k⁷⁹)=∑[k=1,n](1/80-(k/n)⁷⁹) という変形までは簡単にたどり着けるので, あとはこれをどう評価するというところにかかっている.

もっとも単純な発想は ∑[k=1,n]k⁷⁹ を求めてしまうことであり, これが求められるなら α を求めるときも使っておけば一貫性がある回答となった. 実際に、これはファウルハーバーの公式というもので求めることが可能であり, これを使えば n⁸⁰の係数が(1/80)×₈₀C₀×B₀=1/80, n⁷⁹の係数が (1/80)×₈₀C₁×B₁=-1/2 となることがわかり, ここから K=-1/2, 解答すべき値は 100 となることがわかる.

想定解はファウルハーバーの公式に頼らずに数値評価をするところにあるのだろう.

冒頭に持ち出した n(e-(1+n)^n) → e/2 の評価をするときには面積で評価をするということがとても有効なので, 今回もそれで行ってみる.

任意の実数 x について, (x+1)⁸⁰-x⁸⁰=80c⁷⁹, x<c<x+1 なる c が存在する. c>0 において c⁷⁹ は単調に増加する. よって, c_i を i<c<i+1 を満たす変数とすれば, ∑[i=1,n]c_i⁷⁹=∑[i=1,n](x+1)⁸⁰-x⁸⁰ より (n+1)⁸⁰-1<∑[k=1,n]k⁷⁹<(n+2)⁸⁰-2⁸⁰= が得られ, 両辺について n⁸⁰ で割り n/80 を引いて n→∞ の極限を考えると -1/2 に収束するのでこれをもって K=-1/2 を得る. よって, 解答すべき値が 100 となることも導かれる.