数学夏祭り1日目

数学夏祭りの公式 Twitter アカウントに第1問が投稿されたので解いてみた。

この手の問題はとにかく面倒なので何とかして因数分解のような作業を行ってみることにつきる. 79は素数であることに着目して所与の式の両辺に 79pqr をかけて整理すると (pr-79)(qr-79)=792 という関係が得られる. p, q, は p≤q を満たす正の数, r は 79 未満の正の数ということを考えると pr≤79, qr≤79 が満たされることはなく, {pr-79=1, qr-79=792} ... (A), または, {pr-79=79, qr-79=79} ... (B) を満たす.

まずは(B)の連立方程式を解く. 両辺をそれぞれ加えると (p+q)r=4×79, 両辺の差をとると (p-q)r=0 を満たす. r>0 より p=q が導かれ, pr=qr=2×79 となる. r は 79 未満の整数であることから (p, q, r)=(79, 79, 2), (158, 158, 1) の 2 とおりの解が得られる.

次に(A)の連立方程式を解く. pr=80=24×5, qr=80×79=24×5×79 である. r は pr, qr の公約数となるから, 80 の約数である. ただし, 80 については r<79 を満たさないので不可. したがって, r=1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 となることがわかるので, 具体的に方程式を解いていけばいい. すると, (p, q, r)=(80, 6320, 1), (40, 3160, 2), (20, 1580, 4), (16, 1264, 5), (10, 790, 8), (8, 632, 10), (5, 395, 16), (4, 316, 20), (2, 158, 40) の 9 とおりの解を得る.

以上の解が得られたので, これを改めて p が小さい順に並べると次のとおりとなる.

整数解一覧 (p: 昇順)
pqr
215840
431620
539516
863210
107908
1612645
2015804
4031602
79792
8063201
1581581

したがって, 求める値は 16×1580=25280 である.

と, ここまで頑張って解いてみたが, 実は解を出すだけなら WolframAlpha に投げれば一発である.

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