数学夏祭り3日目

数学夏祭りの公式 Twitter アカウントに第3問が投稿されたので解いてみた。

いわゆるチェビシェフ多項式について前置きがあったが, 意図を計りかねたのでそのまま複素数の問題に置き換えて処理してみた.

結局、Kは Π[k=0, 39]cos(πk/79) となるのでこれを何とかして求めたい. 有名な方法として, 複素平面に帰着させる方法がある.

方程式 1+∑[k=1,78]z^k=0 …(※) について考える. この方程式の解に z=1 が含まれていないので, 方程式の両辺に (z-1) をかけると z⁷⁹-1=0 を得る. つまり, 元の方程式の解は 1 の 79 乗根 (実数解を除く) となる. 1 の原始 79 乗根を α とする. 具体的には α=cos(2π/79)+i sin(2π/79)=e^2πi/79 となる.

つまり, Π[k=1,78](z-α^k)=1+∑[k=1,78]z^k が成り立つので, これに z=-1 を代入すると Π[k=1,78](1+α^k)=1 … (†) を得る.

さて, (†) の両辺の絶対値をとって評価してみる. |1+α^k| については |1+α^k|²=(1+α^k)(1+α^-k)=2+2cos(2πk/79)=4cos²(πk/79) が得られる. よって, |1+α^k|=2|cos(πk/79)| である.

以上により, Π[k=1,78]|1+α^k|=2⁷⁸Π[k=1, 78]|cos(πk/79)|=2⁷⁸Π[k=0, 78]|cos(πk/79)|=2⁷⁸(Π[k=0, 39]|cos(πk/79)|)²=1, K²=2^-78, K=2^-39 が成立するので, [|log₂K|]=|log₂K|=39 である.