常用対数の近似計算と10の自然対数の近似計算

非常に大きな数を扱うための概念として対数を高校数学で学習する. 例えば, 2¹⁰ は 10³ とほぼ等しい. 10 の累乗に値を換算したときの指数に相当する数を, その元の数の常用対数 をとった値というのである. これを式で表したものが log₁₀2¹⁰≈3 という関係である.

なお, 3dB(decibel( で 2 倍という関係はこの対数計算から得られるのである.

これを一般化すると, 1 ではない正の実数 a, 任意の実数 r について対数(logarithm(を次のように定義するということである。

a^r=R ⇔ log_aR=r

a=10 のときは常用対数, a=e (e: ネイピア数) のときは自然対数, a=2 のときは二進対数と特別に呼ばれる.

log_aR という表記であるが, 文脈から明らかな場合は底 a はしばしば省略される.

ここでよく話題になる話として, 様々な整数の常用対数をとるといくらになるのか? というものがある. いくつかの整数に対して, その概算値を出してみよう.

log(1) は正確に 0 である. なぜならば, すべての 0 ではない実数 R について R⁰=1 が成り立つからである.

log(2) は冒頭で話題にした 2¹⁰≈10³ の関係から 10log(2)≈3 ⇔ log(2)≈0.3 となる. 厳密には 2¹⁰>10³ であるから log(2)>0.3 である. 上からの評価もしたい. 1000<1024<1250 の関係を使うと. 常用対数をとると 3<10log(2)<=4-3log(2) となるから log(2)<4/13<0.3077 が得られるが、 ちょっとこれではおおざっぱすぎる. ここは天下り的ではあるが, 2⁹³<10²⁸ という関係を使う. すると, log(2)<28/93<0.3011 を得る.

log(3) についてもここでは近似値を求めることになる. 80<81 より 1+3log(2)<4log(3) から log(3)>19/40=0.475 という評価ができる. また, 20000>19683=3⁹ ⇔ 4+log(2)>9log(3) から log(3)<4/9+log(2)/9=400/837<0.4779

これらの値を用いて log(4)=2log(2), log(5)=1-log(2), log(6)=log(2)+log(3), log(8)=3log(2), log(9)=2log(3) が概算できる.

1桁の整数の残り log(7) は様々な近似が検討されている. 例えば, 48<49<50 ⇔ 4log(2)+log(3)<2log(7)<2-log(2) より 67/80=0.8375<log(7)<17/20=0.85 という簡易的な評価がある. もうちょっと精度を上げるならば 7⁴=2401>2400 ⇔ 4log(7)>2+3log(2)+log(3) より log(7)>27/32=0.84375, 48×1024/1000>49 ⇔ 14log(2)+log(3)-3>2log(7) より log(7)<1417/1674<0.8465 さらには, 10⁶<2²×3⁶×7³ と 2¹⁰×7⁸<3¹⁰×10⁵ を評価すれば小数第3位まで確定できる.

最後に log_e(10) を評価する. そうすると, 自然対数と常用対数の変換に必要な定数が得られるのである. ただ, こちらについては積分計算により求めるのが一般的だろう. ∫₁²(1/x)dx=log_e(2) という関係があるからだ. 被積分関数は積分区間内において凸関数なので、台形近似では収束がちょっと遅い. シンプソンの公式なら劇的に早く収束する. 具体的には (1/(6n))(1+2Σ_j=1^n-11/(1+2j/(2n))+4Σ_j=1ⁿ(1/(1+(2j-1)/(2n)))+1/2) これを必要な精度まで計算して log₁₀(2) で割ると log_e(10) が得られる. シンプソンの公式は4次収束なので、n=2 でも3桁の精度は出る. log_e(2)≈0.693 なので log_e(10) は 2.25 から 2.31 の範囲にあるといえる.

上記の値についての分数近似を与えてみる

• log₁₀(2): 0, 1/3, 3/10, 28/93, 59/196, 146/485, 643/2136, 4004/13301, 8651/28738, 12655/42039, 21306/70777, 76573/254370, 97879/325147, 1838395/6107016, 1936274/6432163, 13456039/44699994, …: [0; 3, 3, 9, 2, 2, 4, 6, 2, 1, 1, 3, 1, 18, 1, 6, …]
• log₁₀(3): 0, 1/2, 10/21, 21/44, 52/109, 73/153, 1001/2098, 1074/2251, 8519/17855, 154416/323641, 317351/665137, 789118/1653915, 1106469/2319052, 3002056/6292019, 10112637/21195109, 43452604/91072455, …: [0; 2, 10, 2, 2, 1, 13, 1, 7, 18, 2, 2, 1, 2, 3, 4, …]
• log₁₀(7): 0, 1, 5/6, 11/13, 60/71, 371/439, 431/510, 2074774/2455069, 2075205/2455579, 4149979/4910648, 10375163/12276875, 24900305/29464398, 60175773/71205671, 85076078/100670069, 145251851/171875740, 230327929/272545809, …: [0; 1, 5, 2, 5, 6, 1, 4813, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, …]
• log_e(2): 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13, 61/88, 192/277, 253/365, 445/642, 1143/1649, 1588/2291, 2731/3940, 4319/6231, 7050/10171, 25469/36744, 261740/377611, …: [0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10, …]
• log_e(10): 2, 7/3, 23/10, 76/33, 99/43, 175/76, 624/271, 3919/1702, 12381/5377, 41062/17833, 53443/23210, 254834/110673, 563111/244556, 817945/355229, 2199001/955014, 3016946/1310243, …: [2; 3, 3, 3, 1, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 4, 2, 1, 2, 1, …]